6. Через середину O гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC проведены прямые, параллельные катетам. Одна из них пересекает AC в точке M, а другая — BC в точке N. Найдите гипотенузу AB, если MN = 7 см.

Пусть прямые через O параллельны катетам AC и BC соответственно. Так как O — середина AB, по теореме о средней линии треугольника прямая через середину AB, параллельная BC, пересекает AC в её середине M; прямая через середину AB, параллельная AC, пересекает BC в её середине N.

Отрезок MN соединяет середины катетов AC и BC, поэтому он является средней линией треугольника ABC и равен половине гипотенузы: MN = AB / 2.

Следовательно, AB = 2 · 7 = 14 см.

Ответ: 14 см.