4. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (рис. 3.5). Укажите векторы: а) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\); б) \(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}\); в) \(\frac12\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{BD}\); г) \(2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{OD}\).

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\vec u\), \(\overrightarrow{AD}=\vec v\). Тогда \(\overrightarrow{AC}=\vec u+\vec v\), а из свойства диагоналей \(\overrightarrow{OD}=\frac12(\vec v-\vec u)\).

1. \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\vec u-\vec v=\overrightarrow{DB}\).
2. \(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}=(-\vec v)-\vec u?\) При координатах A=0, B=\(\vec u\), C=\(\vec u+\vec v\): \(\overrightarrow{CB}=-\vec v\), поэтому \(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}=-\vec v-\vec u\) не является стороной. Однако по записи на изображении выражение читается как \(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}\), следовательно результат \(-\vec u-\vec v=\overrightarrow{CA}\).
3. \(\frac12\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{BD}=\frac12(\vec u+\vec v)+\frac12(\vec v-\vec u)=\vec v=\overrightarrow{AD}\).
4. \(2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{OD}=2\vec u+(\vec v-\vec u)=\vec u+\vec v=\overrightarrow{AC}\).

Ответ: а) \(\overrightarrow{DB}\); б) \(\overrightarrow{CA}\); в) \(\overrightarrow{AD}\); г) \(\overrightarrow{AC}\).