4. Диагонали ромба равны 40 см и 30 см. Найти его сторону и радиус вписанной окружности.

4. Решение:

Пусть \( d_1 = 40 \) см и \( d_2 = 30 \) см - диагонали ромба.

1. Найдём сторону ромба.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Поэтому половинки диагоналей равны \( \frac{d_1}{2} = \frac{40}{2} = 20 \) см и \( \frac{d_2}{2} = \frac{30}{2} = 15 \) см.

Сторона ромба \( a \) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными половинкам диагоналей. По теореме Пифагора:

\( a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 \)

\( a^2 = 20^2 + 15^2 \)

\( a^2 = 400 + 225 \)

\( a^2 = 625 \)

\( a = \sqrt{625} = 25 \) см.

2. Найдём радиус вписанной окружности.

Площадь ромба можно вычислить двумя способами:

а) \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \)

б) \( S = a \cdot h \), где \( h \) - высота ромба.

Вписанная окружность касается всех сторон ромба, поэтому её диаметр равен высоте ромба: \( d = h = 2r \), где \( r \) - радиус.

Вычислим площадь:

\( S = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 600 \) см².

Теперь найдём высоту:

\( 600 = 25 \cdot h \)

\( h = \frac{600}{25} = 24 \) см.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

\( r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) см.

Ответ: сторона ромба 25 см, радиус вписанной окружности 12 см.