4. Длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равны 12 и \(3\sqrt{3}\), а угол между ними равен \(30^{\circ}\). Найдите скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).

Решение:

Скалярное произведение двух векторов вычисляется по формуле \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)\), где \(\alpha\) — угол между векторами.

Дано: \( |\vec{a}| = 12 \), \( |\vec{b}| = 3\sqrt{3} \), \( \alpha = 30^{\circ} \).

\(\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 12 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \cdot 3 \cdot \frac{3}{2} = 12 \cdot \frac{9}{2} = 6 \cdot 9 = 54\).

Ответ: 54