6. На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\). Найдите длину вектора \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\).

Решение:

Определим координаты векторов по изображению:

Вектор \(\vec{a}\): начало в (0, 2), конец в (2, 0). \(\vec{a} = (2 - 0; 0 - 2) = (2; -2)\).

Вектор \(\vec{b}\): начало в (3, 0), конец в (3, 3). \(\vec{b} = (3 - 3; 3 - 0) = (0; 3)\).

Вектор \(\vec{c}\): начало в (1, 1), конец в (3, -1). \(\vec{c} = (3 - 1; -1 - 1) = (2; -2)\).

Найдем сумму векторов \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\):

\(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (2 + 0 + 2; -2 + 3 + (-2)) = (4; 1 - 2) = (4; -1)\).

Найдем длину полученного вектора \(\vec{d} = (4; -1)\):

\(|\vec{d}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}\).

Ответ: \(\sqrt{17}\)