5. Даны векторы \(\vec{a}\) (3; 1) и \(\vec{b}\) (-1; -3). Найдите косинус угла между ними.

Решение:

Косинус угла между двумя векторами \(\vec{a} = (x_1; y_1)\) и \(\vec{b} = (x_2; y_2)\) находится по формуле \(\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\).

Сначала вычислим скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\):

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-1) + 1 \cdot (-3) = -3 - 3 = -6\).

Теперь вычислим длины векторов:

\(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\).

\(|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\).

Теперь найдём косинус угла:

\(\cos(\alpha) = \frac{-6}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-6}{10} = -0.6\).

Ответ: -0.6