4. Доказать: 1) \(AA_1=BB_1\); 2) \(K\in OO_1\).

1) Из точки K проведены касательные к окружности с центром O: KA и KB. Поэтому KA = KB. Аналогично, для окружности с центром O₁: KA₁ = KB₁.

По рисунку точки A, K, A₁ лежат на одной прямой, причём K находится между A и A₁; так же расположены B, K, B₁. Поэтому AA₁ = AK + KA₁, а BB₁ = BK + KB₁. Следовательно, AA₁ = BB₁.

2) Центр окружности, касающейся двух пересекающихся прямых, равноудалён от этих прямых и лежит на одной из биссектрис образованных ими углов. Центры O и O₁ расположены в вертикально противоположных углах, поэтому лежат на одной прямой — биссектрисе, проходящей через K. Значит, K ∈ OO₁.