9. 1) Дано: $\angle ABC=\angle CDE$. Доказать: $AB=BC=CD=DE$. 2) Дано: $AB=BC=CD=DE$. Доказать: $\angle ABC=\angle CDE$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 9. 1) Дано: $\angle ABC=\angle CDE$. Доказать: $AB=BC=CD=DE$. 2) Дано: $AB=BC=CD=DE$. Доказать: \(\angle ABC=\angle…$ Фото задания

9. 1) Дано: $\angle ABC=\angle CDE$. Доказать: $AB=BC=CD=DE$. 2) Дано: $AB=BC=CD=DE$. Доказать: $\angle ABC=\angle CDE$.

Accepted Answer

В обеих частях используем свойство касательных: отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Поэтому AB = BC, а CD = DE.

1) Пусть радиус окружности равен r. В прямоугольном треугольнике с вершиной B радиусы к точкам касания перпендикулярны касательным. Если α = ∠ABC, то половина этого угла образует с радиусом угол 90° − α/2. Поэтому AB = r · tan(α/2). Аналогично, CD = r · tan(∠CDE/2). По условию углы равны, значит AB = CD. Вместе с AB = BC и CD = DE получаем AB = BC = CD = DE.

2) Из касательных, проведённых из B и D, имеем AB = BC и CD = DE. По условию все четыре отрезка равны, в частности AB = CD. Из равенств AB = r · tan(∠ABC/2) и CD = r · tan(∠CDE/2) следует tan(∠ABC/2) = tan(∠CDE/2). Оба половинных угла острые, поэтому углы равны: ∠ABC = ∠CDE.

9. 1) Дано: \(\angle ABC=\angle CDE\). Доказать: \(AB=BC=CD=DE\). 2) Дано: \(AB=BC=CD=DE\). Доказать: \(\angle ABC=\angle CDE\).

Ответ: