5. Доказать: 1) \(AA_1=BB_1\); 2) \(C\in OO_1\).

1) Из точки C проведены касательные CA и CB к окружности с центром O, поэтому CA = CB. Касательные CA₁ и CB₁ к окружности с центром O₁ также равны: CA₁ = CB₁.

По рисунку точки на каждой стороне угла расположены в порядке C, A₁, A и C, B₁, B. Поэтому AA₁ = CA − CA₁, а BB₁ = CB − CB₁. Из равенств касательных следует, что AA₁ = BB₁.

2) Центры окружностей, касающихся обеих сторон угла, лежат на его биссектрисе. Следовательно, точки C, O и O₁ лежат на одной прямой, то есть C ∈ OO₁.