8. Доказать: \(\angle AOB=2\angle CAB\).

Радиус OA проведён к точке касания A, поэтому OA ⟂ AC и ∠OAC = 90°.

Угол OAB дополняет угол CAB до прямого: ∠OAB = 90° − ∠CAB. Так как OA и OB — радиусы, треугольник AOB равнобедренный, поэтому ∠ABO = ∠OAB.

По сумме углов треугольника:

∠AOB = 180° − ∠OAB − ∠ABO = 180° − 2(90° − ∠CAB) = 2∠CAB.