№4. Доказать: а) ctg² α − cos² α = ctg² α cos² α.

Преобразуем левую часть, используя \(1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\):

\[\operatorname{ctg}^2\alpha-\cos^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}-\cos^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha(1-\sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha}=\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}.\]

Правая часть равна \(\operatorname{ctg}^2\alpha\cos^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\cos^2\alpha=\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}\). Обе части равны при допустимых значениях \(\alpha\), значит тождество доказано.