№6. Доказать: (cos⁴ α − sin⁴ α)/cos² α + 2 tg² α = 1/cos² α.

Разложим разность четвёртых степеней и применим тождества \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) и \(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}\):

\[\frac{\cos^4\alpha-\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}+2\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)}{\cos^2\alpha}+2\operatorname{tg}^2\alpha\]

\[=\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+2\operatorname{tg}^2\alpha=1-\operatorname{tg}^2\alpha+2\operatorname{tg}^2\alpha=1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}.\]

Тождество доказано при \(\cos\alpha\ne0\).