№4. Доказать: б) (cos⁴ α − sin⁴ α)/cos² α + 2 tg² α = 1/cos² α.

Разложим разность четвёртых степеней и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\[\frac{\cos^4\alpha-\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}+2\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)}{\cos^2\alpha}+2\operatorname{tg}^2\alpha.\]

Так как \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\), получаем

\[\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+2\operatorname{tg}^2\alpha=1-\operatorname{tg}^2\alpha+2\operatorname{tg}^2\alpha=1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}.\]

Тождество доказано при \(\cos\alpha\ne0\).