4. Доказать тождество: \(\dfrac{x+2}{x^2-2x+1}\cdot\dfrac{3x-3}{x^2-4}-\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{3}{1-x}\).

Область допустимых значений: \(x\ne1\), \(x\ne2\), \(x\ne-2\).

Разложим знаменатели и числители на множители: \(x^2-2x+1=(x-1)^2\), \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), \(3x-3=3(x-1)\).

Сократим множители в произведении:

\[\frac{x+2}{(x-1)^2}\cdot\frac{3(x-1)}{(x-2)(x+2)}-\frac3{x-2}=\frac3{(x-1)(x-2)}-\frac3{x-2}.\]

Приведём к общему знаменателю:

\[\frac{3-3(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{3(2-x)}{(x-1)(x-2)}=-\frac3{x-1}=\frac3{1-x}.\]

Получено правое выражение при всех допустимых значениях переменной. Тождество доказано.