4. Доказать тождество: $\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)=2x^2+2xy$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Доказать тождество: $\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)=2x^2+2xy$.$ Фото задания

Accepted Answer

Преобразуем левую часть. Область допустимых значений: $y\ne x$, $y\ne-x$, $y\ne0$.

$y^2-x^2=(y-x)(y+x)$, а $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$. Тогда выражение в скобках равно

$\frac{1}{(y-x)(y+x)}+\frac{1}{(y+x)^2}=\frac{(y+x)+(y-x)}{(y-x)(y+x)^2}=\frac{2y}{(y-x)(y+x)^2}.$

Следовательно, левая часть равна

$\frac{4xy}{(y-x)(y+x)}:\frac{2y}{(y-x)(y+x)^2}=2x(y+x)=2x^2+2xy.$

Левая часть совпадает с правой на всей области допустимых значений, поэтому тождество доказано.

4. Доказать тождество: \(\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)=2x^2+2xy\).