4. Докажите, что значение выражения 2/(5 − 3√7) + 2/(5 + 3√7) является рациональным числом.

Сложим дроби, используя общий знаменатель — произведение сопряжённых выражений:

2/(5 − 3√7) + 2/(5 + 3√7) = (2(5 + 3√7) + 2(5 − 3√7))/((5 − 3√7)(5 + 3√7)).

В числителе радикальные слагаемые взаимно уничтожаются, а знаменатель вычисляется как разность квадратов:

= 20/(25 − 63) = 20/(−38) = −10/19.

Получено рациональное число, следовательно, утверждение доказано.

Ответ: значение выражения равно −10/19.