4. Докажите тождество \(\frac{\operatorname{tg}t}{\operatorname{tg}t+\operatorname{ctg}t}=\sin^2t\).

Преобразуем левую часть, заменив тангенс и котангенс отношениями синуса и косинуса:

\[\frac{\operatorname{tg}t}{\operatorname{tg}t+\operatorname{ctg}t}=\frac{\frac{\sin t}{\cos t}}{\frac{\sin t}{\cos t}+\frac{\cos t}{\sin t}}.\]

Приведём знаменатель к общему знаменателю:

\[\frac{\sin t}{\cos t}+\frac{\cos t}{\sin t}=\frac{\sin^2t+\cos^2t}{\sin t\cos t}=\frac1{\sin t\cos t}.\]

Следовательно,

\[\frac{\frac{\sin t}{\cos t}}{\frac1{\sin t\cos t}}=\frac{\sin t}{\cos t}\cdot\sin t\cos t=\sin^2t.\]

Тождество доказано при \(\sin t\ne0\) и \(\cos t\ne0\).