4. Две стороны треугольника равны 2√3 см и 8 см. Найдите третью сторону треугольника, если она равна радиусу окружности, описанной около данного треугольника.

Пусть третья сторона равна \(x\), а противолежащий ей угол — \(\gamma\). По теореме синусов \(R=\dfrac{x}{2\sin\gamma}\). Условие \(x=R\) даёт \(\sin\gamma=\dfrac12\), поэтому возможны углы 30° и 150°.

По теореме косинусов для угла между сторонами 2√3 см и 8 см:

При \(\gamma=30°\): \(x^2=(2\sqrt3)^2+8^2-2\cdot2\sqrt3\cdot8\cos30°=12+64-48=28\), значит, \(x=2\sqrt7\) см.

При \(\gamma=150°\): \(x^2=12+64-2\cdot2\sqrt3\cdot8\cos150°=76+48=124\), значит, \(x=2\sqrt{31}\) см.

Оба значения удовлетворяют неравенствам треугольника и условию \(x=R\).

Ответ: 2√7 см или 2√31 см.