4. \(\frac{2\sin x+\sqrt3}{2\cos x-1}=0\)

Дробь равна нулю, если \(2\sin x+\sqrt3=0\) и одновременно \(2\cos x-1\ne0\).

\(\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}\), поэтому \(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n\) или \(x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n\).

При \(x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n\) знаменатель равен нулю, поэтому эти корни исключаются.

Ответ: \(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\).