4. Функция $$y=f(x)$$ задана своим графиком (рис. 48). Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях x f(x)>0; в) промежутки, на которых производная принимает положительные, отрицательные значения; г) точки экстремума функции; д) наибольшее и наименьшее значения функции.

Решение:

Рассмотрим график функции (рис. 48):

а) Область определения функции:

По графику видно, что функция определена для \( x \) от -2 до 4. В точке \( x = 4 \) график заканчивается, поэтому интервал открытый. В точке \( x = -2 \) — закрашенный круг, поэтому точка входит в область определения.

Ответ: \( [-2; 4) \).

б) При каких значениях x f(x)>0:

Функция положительна, когда её график находится выше оси \( Ox \).

Ответ: \( (-2; 1) \).

в) Промежутки, на которых производная принимает положительные, отрицательные значения:

Производная \( f'(x) \) положительна там, где функция возрастает, и отрицательна — где убывает.

• Функция возрастает на интервале \( (-2; 0) \). Значит, \( f'(x) > 0 \) на \( (-2; 0) \).
• Функция убывает на интервале \( (0; 4) \). Значит, \( f'(x) < 0 \) на \( (0; 4) \).

Ответ: \( f'(x) > 0 \) на \( (-2; 0) \); \( f'(x) < 0 \) на \( (0; 4) \).

г) Точки экстремума функции:

Точки экстремума — это точки, где производная меняет знак. На графике это точка \( x = 0 \), где функция имеет максимум.

Ответ: \( x = 0 \) (точка максимума).

д) Наибольшее и наименьшее значения функции:

Наибольшее значение на интервале \( [-2; 4) \) достигается в точке \( x = 0 \), \( f(0) \) — максимум.

Наименьшего значения на данном интервале нет, так как функция неограниченно убывает к \( x = 4 \) (предельное значение приближается к -\(\infty\)).

Ответ: Наибольшее значение \( f(0) \); наименьшего значения не существует.