4. Используя данные рисунка, найдите наибольшую сторону треугольника ABC. На рисунке ∠B = 30°, ∠C = 30°, AC = 9√3.

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle A=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ\). Равным углам противолежат равные стороны: \(AB=AC=9\sqrt3\).

Сторона \(BC\) лежит напротив наибольшего угла \(A=120^\circ\), значит она наибольшая. По теореме синусов:

\(\dfrac{BC}{\sin120^\circ}=\dfrac{AC}{\sin30^\circ}\), откуда \(BC=9\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3/2}{1/2}=27\).

Ответ: наибольшая сторона — BC = 27.