4. Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 55 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 6 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Пусть $$s$$ - расстояние между городами А и В. Пусть $$v$$ - скорость первого автомобиля. Тогда время, затраченное первым автомобилем на весь путь, равно $$\frac{s}{v}$$. Второй автомобиль первую половину пути проехал со скоростью 55 км/ч, то есть время на первую половину пути $$\frac{s/2}{55} = \frac{s}{110}$$ часов. Вторую половину пути он проехал со скоростью $$v + 6$$ км/ч, то есть время на вторую половину пути $$\frac{s/2}{v+6} = \frac{s}{2(v+6)}$$ часов. Общее время второго автомобиля: $$\frac{s}{110} + \frac{s}{2(v+6)}$$ Так как оба автомобиля прибыли одновременно, их время в пути одинаково: $$\frac{s}{v} = \frac{s}{110} + \frac{s}{2(v+6)}$$ Разделим обе части уравнения на $$s$$ (поскольку s не ноль): $$\frac{1}{v} = \frac{1}{110} + \frac{1}{2(v+6)}$$ Умножим обе части на $$110*2v*(v+6)$$: $$220(v+6) = 2v(v+6) + 110v$$ $$220v + 1320 = 2v^2 + 12v + 110v$$ $$2v^2 + 12v + 110v - 220v - 1320 = 0$$ $$2v^2 - 98v - 1320 = 0$$ $$v^2 - 49v - 660 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-49)^2 - 4 * 1 * (-660) = 2401 + 2640 = 5041$$ $$\sqrt{D} = 71$$ $$v_1 = \frac{49+71}{2} = 60$$ $$v_2 = \frac{49-71}{2} = -11$$ (отрицательная скорость не подходит) Ответ: Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч.