4. Луч OD проходит между сторонами угла AOB, луч OC — биссектриса угла AOB. Докажите, что угол DOC равен модулю полуразности углов AOD и DOB.

Обозначим величины углов AOD и DOB через x и y. Поскольку луч OD проходит внутри угла AOB, а OC — его биссектриса, OC делит угол AOB пополам.

1. Если OC лежит между OA и OD, то ∠AOC = ∠COB = (x + y)/2. Поэтому ∠DOC = x − (x + y)/2 = (x − y)/2.
2. Если OC лежит между OD и OB, то ∠DOC = (x + y)/2 − x = (y − x)/2.

В обоих случаях величина угла DOC равна модулю полуразности величин углов AOD и DOB.

Что и требовалось доказать.