№ 4. На диагонали BD параллелограмма ABCD отметили точки M и N так, что отрезки BM и DN равны. Докажите, что четырехугольник AMCN является параллелограммом.

Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей AC и BD через O.

Пусть \(BO=OD\). Так как точки M и N лежат на диагонали BD и \(BM=DN\), то точки M и N расположены симметрично относительно точки O. Следовательно, \(OM=ON\), то есть O — середина отрезка MN.

Кроме того, O является серединой диагонали AC параллелограмма ABCD, поэтому O — середина отрезка AC.

В четырехугольнике AMCN диагонали AC и MN пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. По признаку параллелограмма AMCN является параллелограммом.

Ответ: AMCN — параллелограмм.