4. На гипотенузе прямоугольного треугольника, один из углов которого равен 45°, отметили точки C и F, а на катетах — точки D и A таким образом, что фигура CFDA оказалась прямоугольником. Найдите стороны этого прямоугольника, если гипотенуза треугольника равна 164 см, а CF:FD = 15:13.

В условии есть противоречие: такого прямоугольника не существует. В прямоугольнике CFDA стороны CF и DA параллельны. Поскольку CF лежит на гипотенузе, DA параллельна гипотенузе и соединяет точки на двух катетах.

Треугольник с углом 45° — равнобедренный прямоугольный. Если катеты расположить по осям координат, гипотенуза имеет вид \(x+y=L\), а параллельный ей отрезок DA на катетах — \(x+y=c\). Длина DA равна \(c\sqrt{2}\), а расстояние между этими параллельными прямыми, то есть FD, равно \((L-c)/\sqrt{2}\). При этом длина отрезка CF на гипотенузе равна \((L-c)\sqrt{2}=2FD\). Следовательно, обязательно \(CF:FD=2:1\), а не \(15:13\).

Поэтому указанные в условии данные несовместимы; стороны прямоугольника определить нельзя. Проверьте, пожалуйста, отношение CF:FD или формулировку условия.