4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:

Для решения этой задачи необходимо построить точки A, B и C на координатной плоскости, используя изображение. По изображению, будем считать, что точка A имеет координаты \( (1, 3) \), точка B имеет координаты \( (5, 1) \), точка C имеет координаты \( (4, 5) \).

Сначала найдём уравнение прямой BC. Угловой коэффициент \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 1}{4 - 5} = \frac{4}{-1} = -4 \).

Уравнение прямой BC: \( y - 1 = -4(x - 5) \) \( y - 1 = -4x + 20 \) \( y = -4x + 21 \). Приведём к виду \( Ax + By + C = 0 \): \( 4x + y - 21 = 0 \).

Теперь найдём расстояние от точки A \( (1, 3) \) до прямой BC по формуле:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

В нашем случае \( A = 4, B = 1, C = -21, x_0 = 1, y_0 = 3 \).

\[ d = \frac{|4 \cdot 1 + 1 \cdot 3 - 21|}{\sqrt{4^2 + 1^2}} = \frac{|4 + 3 - 21|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{|-14|}{\sqrt{17}} = \frac{14}{\sqrt{17}} \]

Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{17} \):

\[ d = \frac{14\sqrt{17}}{17} \]

Округлённое значение: \( \frac{14 \times 4.123}{17} \approx \frac{57.72}{17} \approx 3.39 \) см.

Ответ: \( \frac{14\sqrt{17}}{17} \)