7. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Докажите, что AMNK — ромб.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равносторонний. M, N, K — середины сторон AB, BC, CA соответственно.

Доказать: AMNK — ромб.

Доказательство:

1. В равностороннем треугольнике все стороны равны \( AB = BC = CA \) и все углы равны \( 60^{\circ} \).
2. Так как M, N, K — середины сторон, то \( AM = MB = \frac{1}{2} AB \), \( BN = NC = \frac{1}{2} BC \), \( CK = KA = \frac{1}{2} CA \).
3. Поскольку \( AB = BC = CA \), то \( AM = MB = BN = NC = CK = KA = \frac{1}{2} AB \).
4. Рассмотрим треугольник ABC и средние линии MN, NK, KM.
5. По теореме о средней линии треугольника: \( MN \parallel AC \) и \( MN = \frac{1}{2} AC \).
6. Аналогично, \( NK \parallel AB \) и \( NK = \frac{1}{2} AB \).
7. И \( KM \parallel BC \) и \( KM = \frac{1}{2} BC \).
8. Так как \( AB = BC = AC \), то \( MN = NK = KM = \frac{1}{2} AB \).
9. Следовательно, \( \triangle MNK \) — равносторонний.
10. Теперь рассмотрим четырёхугольник AMNK.
11. У нас \( AM = \frac{1}{2} AB \) и \( NK = \frac{1}{2} AB \). Значит, \( AM = NK \).
12. Так как \( NK \cdot \cdot AB \) и \( AM \) лежит на AB, то \( NK \cdot \cdot AM \).
13. Четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон равна и параллельна, является параллелограммом. Следовательно, AMNK — параллелограмм.
14. Теперь докажем, что это ромб. В параллелограмме AMNK, \( AM = \frac{1}{2} AB \) и \( AK = \frac{1}{2} AC \). Поскольку \( AB = AC \), то \( AM = AK \).
15. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.
16. Таким образом, AMNK — ромб.

Доказано.