6. В \(\triangle MNK\) точка O — точка пересечения медиан. Выразите вектор \(\vec{MO}\) через векторы \(\vec x=\vec{MN}\), \(\vec y=\vec{MK}\).

Обозначим через P середину NK. Тогда \(\vec{MP}=\frac12(\vec{MN}+\vec{MK})=\frac12(\vec x+\vec y)\).

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины, поэтому \(\vec{MO}=\frac23\vec{MP}\).

Подставим выражение для \(\vec{MP}\): \(\vec{MO}=\frac23\cdot\frac12(\vec x+\vec y)=\frac13(\vec x+\vec y)\).

Ответ: \(\vec{MO}=\frac13(\vec x+\vec y)\).