4. На стороне BA прямоугольника ZBAT отметили её середину — точку X. Оказалось, что XZ ⟂ XT. Меньшая сторона прямоугольника равна 19 см. Найдите его периметр.

Обозначим стороны прямоугольника, прилежащие к вершине A, через AB = h и AZ = w. Введём координаты: Z(0, 0), B(w, 0), A(w, h), T(0, h). Тогда середина BA — X(w, h/2).

Перпендикулярность XZ и XT означает, что скалярное произведение векторов ZX = (w, h/2) и TX = (w, −h/2) равно нулю: w² − h²/4 = 0. Значит, h = 2w.

Меньшая сторона равна w = 19 см, поэтому большая сторона равна 38 см. Периметр: 2 · (19 + 38) = 114 см.

Ответ: 114 см.