5. На гипотенузе прямоугольного треугольника, один из углов которого равен 45°, отметили точки X и F, а на катетах — точки D и T таким образом, что фигура XFDT оказалась прямоугольником. Найдите стороны этого прямоугольника, если гипотенуза треугольника равна 114 см, а XF:FD = 11:23.

Так как в прямоугольном треугольнике один острый угол равен 45°, второй тоже равен 45°. Высота из вершины прямого угла к гипотенузе делит её пополам, поэтому высота равна 114 ÷ 2 = 57 см.

Пусть XF = x, FD = y. Ширина треугольника на высоте y от гипотенузы равна 114 − 2y, поэтому x + 2y = 114.

Из отношения x:y = 11:23 получаем x = 11k, y = 23k. Тогда 11k + 46k = 114, откуда k = 2. Следовательно, x = 22 см, y = 46 см.

Ответ: стороны прямоугольника — 22 см и 46 см.