4. Найдите длину вектора \(\vec k=\frac{1}{7}\vec m+4\vec n\), где \(\vec m=-7\vec i+14\vec j\) и \(\vec n=\frac{1}{2}\vec i-3\vec j\).

Запишем векторы координатами: \(\vec m=(-7;14)\), \(\vec n=(\frac{1}{2};-3)\).

Вычислим слагаемые: \(\frac{1}{7}\vec m=(-1;2)\), а \(4\vec n=(2;-12)\).

Тогда \(\vec k=(-1+2;2-12)=(1;-10)\).

Длина вектора: \(|\vec k|=\sqrt{1^2+(-10)^2}=\sqrt{101}\).

Ответ: \(\sqrt{101}\).