5. Даны векторы $\vec p(-5;5)$, $\vec d(3;4)$ и $\vec q(3;a)$. Найдите: а) косинус угла между векторами $\vec p$ и $\vec d$; б) число a, если векторы $\vec d$ и $\vec q$ коллинеарны; в) число a, если векторы $\vec p$ и $\vec q$ перпендикулярны.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Даны векторы $\vec p(-5;5)$, $\vec d(3;4)$ и $\vec q(3;a)$. Найдите: а) косинус угла между векторами $\vec p$ и…$ Фото задания

5. Даны векторы $\vec p(-5;5)$, $\vec d(3;4)$ и $\vec q(3;a)$. Найдите: а) косинус угла между векторами $\vec p$ и $\vec d$; б) число a, если векторы $\vec d$ и $\vec q$ коллинеарны; в) число a, если векторы $\vec p$ и $\vec q$ перпендикулярны.

Accepted Answer

а) Используем формулу $\cos\varphi=\frac{\vec p\cdot\vec d}{|\vec p||\vec d|}$. Скалярное произведение равно $(-5)\cdot3+5\cdot4=5$, длины векторов — $|\vec p|=\sqrt{50}$ и $|\vec d|=5$. Поэтому $\cos\varphi=\frac{5}{5\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$.

б) Для коллинеарных векторов определитель координат равен нулю: $3a-4\cdot3=0$. Отсюда $3a=12$, значит, $a=4$.

в) Для перпендикулярных векторов скалярное произведение равно нулю: $(-5)\cdot3+5a=0$. Получаем $-15+5a=0$, поэтому $a=3$.

Ответ: а) $\frac{\sqrt{2}}{10}$; б) $a=4$; в) $a=3$.