4. Найдите длину вектора \(\vec k=\frac12\vec m+4\vec n\), где \(\vec m=-7\vec i+14\vec j\), \(\vec n=\frac12\vec i-3\vec j\).

Подставим координаты данных векторов:

\(\vec k=\frac12(-7\vec i+14\vec j)+4(\frac12\vec i-3\vec j)\).

Сложим коэффициенты при каждом орте: \(\vec k=(-\frac72+2)\vec i+(7-12)\vec j=-\frac32\vec i-5\vec j\).

Длина вектора с координатами \((-\frac32,-5)\):

\(|\vec k|=\sqrt{(-\frac32)^2+(-5)^2}=\sqrt{\frac94+25}=\sqrt{\frac{109}{4}}=\frac{\sqrt{109}}2\).

Ответ: \(|\vec k|=\frac{\sqrt{109}}2\).