5. Даны векторы $\vec p=(-5;5)$, $\vec d=(3;4)$ и $\vec q=(3;a)$. Найдите: а) косинус между векторами $\vec p$ и $\vec d$; b) число a, если векторы $\vec d$ и $\vec q$ коллинеарны; c) число a, если векторы $\vec p$ и $\vec q$ перпендикулярны.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Даны векторы $\vec p=(-5;5)$, $\vec d=(3;4)$ и $\vec q=(3;a)$. Найдите: а) косинус между векторами $\vec p$ и…$ Фото задания

5. Даны векторы $\vec p=(-5;5)$, $\vec d=(3;4)$ и $\vec q=(3;a)$. Найдите: а) косинус между векторами $\vec p$ и $\vec d$; b) число a, если векторы $\vec d$ и $\vec q$ коллинеарны; c) число a, если векторы $\vec p$ и $\vec q$ перпендикулярны.

Accepted Answer

а) Используем формулу косинуса угла между векторами:

$\cos\varphi=\frac{\vec p\cdot\vec d}{|\vec p||\vec d|}$.

$\vec p\cdot\vec d=(-5)\cdot3+5\cdot4=5$, $|\vec p|=\sqrt{50}$, $|\vec d|=5$. Поэтому $\cos\varphi=\frac{5}{5\sqrt{50}}=\frac{\sqrt2}{10}$.

b) Для коллинеарных векторов их координаты пропорциональны. Из $3/3=a/4$ получаем $a=4$.

c) Перпендикулярные векторы имеют нулевое скалярное произведение: $(-5)\cdot3+5a=0$, откуда $5a=15$ и $a=3$.

Ответ: а) $\frac{\sqrt2}{10}$; b) 4; c) 3.