4. Найдите наименьшее значение выражения x² + y² - 4x + 6y + 19.

Решение:

Сгруппируем члены с $$x$$ и $$y$$ и выделим полные квадраты:

\[ (x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + 19 \]

Чтобы выделить полный квадрат из $$x^2 - 4x$$, добавим и вычтем $$(\frac{-4}{2})^2 = (-2)^2 = 4$$.

Чтобы выделить полный квадрат из $$y^2 + 6y$$, добавим и вычтем $$(\frac{6}{2})^2 = 3^2 = 9$$.

\[ (x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 6y + 9) - 9 + 19 \]

Заменим полученные выражения полными квадратами:

\[ (x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 + 19 \]

\[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 + 6 \]

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то наименьшее значение $$(x - 2)^2$$ равно 0 (при $$x=2$$), и наименьшее значение $$(y + 3)^2$$ равно 0 (при $$y=-3$$).

Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно $$0 + 0 + 6 = 6$$.

Ответ: 6