5. Докажите, что значение выражения 16⁴ - 232² кратно 4 и 6.

Решение:

Доказательство кратности 4:

Рассмотрим выражение $$16^4 - 232^2$$.

Число $$16$$ кратно 4, поэтому $$16^4$$ кратно 4.

Число $$232$$ делится на 4: $$232 = 4 \times 58$$. Значит, $$232^2$$ кратно 4.

Разность двух чисел, кратных 4, также кратна 4.

Следовательно, $$16^4 - 232^2$$ кратно 4.

Доказательство кратности 6:

Для кратности 6 нужно доказать кратность 2 и 3.

Кратность 2:

$$16^4$$ - четное число (любая степень четного числа четная).

$$232^2$$ - четное число (квадрат четного числа четный).

Разность двух четных чисел - четное число, значит, выражение кратно 2.

Кратность 3:

Используем разность квадратов: $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$.

\[ 16^4 - 232^2 = (16^2)^2 - 232^2 = (16^2 - 232)(16^2 + 232) \]

\[ 16^2 = 256 \]

\[ (256 - 232)(256 + 232) = (24)(488) \]

Число $$24$$ кратно 3 ($$24 = 3 \times 8$$).

Следовательно, произведение $$(24)(488)$$ кратно 3.

Так как выражение кратно и 2, и 3, то оно кратно 6.

Вывод: Значение выражения $$16^4 - 232^2$$ кратно 4 и 6.