6. Докажите, что число 15⁴ – 186² + 173² - 134² кратно 39.

Решение:

Сгруппируем слагаемые для удобства:

\[ (15^4 - 134^2) + (173^2 - 186^2) \]

Воспользуемся формулой разности квадратов $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$.

Первая скобка: $$15^4 - 134^2 = (15^2)^2 - 134^2 = (225)^2 - 134^2$$.

\[ (225 - 134)(225 + 134) = (91)(359) \]

Вторая скобка: $$173^2 - 186^2$$.

\[ (173 - 186)(173 + 186) = (-13)(359) \]

Теперь сложим полученные результаты:

\[ (91)(359) + (-13)(359) = 359(91 - 13) = 359(78) \]

Нам нужно доказать, что $$359 \times 78$$ кратно 39.

Заметим, что $$78 = 2 \times 39$$.

Следовательно, $$359 \times 78 = 359 \times (2 \times 39) = (359 \times 2) \times 39 = 718 \times 39$$.

Так как число можно представить в виде $$718 \times 39$$, оно кратно 39.

Вывод: Число $$15^4 - 186^2 + 173^2 - 134^2$$ кратно 39.