4) Найдите угол x, используя данные рисунка.

Дано:

• \[ \angle A = 150^{\circ} \]
• QH и HC — касательные к окружности.

Решение:

Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки к окружности, равен полуразности градусных мер дуг, заключенных между точками касания.

Угол \[ \angle A \] является внешним углом к окружности. Он равен полуразности дуг, высекаемых точками Q и C на окружности.

\[ \angle A = \frac{1}{2} ( \text{дуга } QC - \text{дуга } \overset{\frown}{QC}_{внутр} ) \]

Угол \[ \angle QOC \], где O — центр окружности, равен центральному углу, опирающемуся на дугу QC. Угол x является центральным углом, опирающимся на дугу QC.

Сумма углов в четырехугольнике AQOC равна 360°. Углы \[ \angle AQO \] и \[ \angle ACO \] равны 90° (радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной).

\[ \angle QOC + \angle AQO + \angle A + \angle ACO = 360^{\circ} \]

\[ x + 90^{\circ} + 150^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \]

\[ x + 330^{\circ} = 360^{\circ} \]

\[ x = 360^{\circ} - 330^{\circ} \]

\[ x = 30^{\circ} \]

Ответ: 30°