8) Найдите угол x, используя данные рисунка.

Дано:

• PN и PK — касательные к окружности.
• NK — хорда.

Решение:

Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине градусной меры дуги, заключенной между этими двумя прямыми.

Угол x является углом между касательной PL и хордой PK.

Дуга, на которую опирается угол x, — это дуга ¯{NK}.

Угол \[ \angle PNK \] также является углом между касательной PN и хордой NK. Он опирается на дугу ¯{NK}.

Следовательно, \[ \angle x = \angle PNK \].

Рассмотрим треугольник \[ \triangle PNK \]. OP = OK (радиусы), значит, \[ \triangle OPK \] — равнобедренный.

OP ⊥ PN, поэтому \[ \angle OPN = 90^{\circ} \].

В равнобедренном треугольнике \[ \triangle OPK \], \[ \angle OPK = \angle OKP \]. Однако, это не помогает найти x.

Рассмотрим угол \[ \angle PKN \]. Он является вписанным углом, опирающимся на дугу ¯{KN}.

Угол x — угол между касательной PL и хордой PK. Он равен половине дуги ¯{NK}.

\[ x = \frac{1}{2} ¯{NK} \]

Угол \[ \angle NPK \] — это центральный угол, который равен дуге ¯{NK}.

\[ \angle NPK = ¯{NK} \]

Таким образом, \[ x = \frac{1}{2} \angle NPK \].

Теперь нам нужно найти \[ \angle NPK \].

В треугольнике \[ \triangle NPK \], PN = PK (касательные из одной точки).

Значит, \[ \triangle NPK \] — равнобедренный.

\[ \angle PNK = \angle PKN \].

Из свойства угла между касательной и хордой, \[ \angle PNK = x \].

Следовательно, \[ \angle PKN = x \].

Сумма углов в \[ \triangle NPK \] равна 180°:

\[ \angle NPK + \angle PNK + \angle PKN = 180^{\circ} \]

\[ \angle NPK + x + x = 180^{\circ} \]

\[ \angle NPK + 2x = 180^{\circ} \]

\[ \angle NPK = 180^{\circ} - 2x \].

Теперь подставим это в соотношение \[ x = \frac{1}{2} \angle NPK \]:

\[ x = \frac{1}{2} (180^{\circ} - 2x) \]

\[ x = 90^{\circ} - x \]

\[ 2x = 90^{\circ} \]

\[ x = 45^{\circ} \].

Ответ: 45°