№ 4. Найдите все значения \(m\), при которых уравнение \(mx^2+3x-1=0\) имеет: 1) 1 корень; 2) 2 корня.

Рассмотрим отдельно случай, когда уравнение перестаёт быть квадратным: при \(m=0\) получаем \(3x-1=0\), у которого один корень.

При \(m\ne0\) уравнение квадратное. Его дискриминант:

\(D=3^2-4m(-1)=9+4m\).

1. Один корень при \(D=0\): \(9+4m=0\), откуда \(m=-\frac94\). С учётом случая \(m=0\): \(m=-\frac94\) или \(m=0\).
2. Два корня при \(D>0\) и \(m\ne0\): \(9+4m>0\), значит \(m>-\frac94\), но \(m\ne0\).

Ответ: 1) \(m=-\frac94\) или \(m=0\); 2) \(m\in\left(-\frac94;0\right)\cup(0;\infty)\).