4. Найдите значение производной функции y = 6 cos x - 3 tg x при x = π/6.

Решение:

Сначала найдём производную функции \( y = 6 \cos x - 3 \tan x \).

Производная от \( \cos x \) равна \( -\sin x \).

Производная от \( \tan x \) равна \( \frac{1}{\cos^2 x} \).

Следовательно, производная \( y' \) равна:

\( y' = 6(-\sin x) - 3(\frac{1}{\cos^2 x}) \)

\( y' = -6\sin x - \frac{3}{\cos^2 x} \)

Теперь подставим \( x = \frac{\pi}{6} \):

\( \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \)

\( \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \cos^2(\frac{\pi}{6}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} \)

Подставляем значения в \( y' \):

\( y'(\frac{\pi}{6}) = -6(\frac{1}{2}) - \frac{3}{\frac{3}{4}} \)

\( y'(\frac{\pi}{6}) = -3 - 3 \cdot \frac{4}{3} \)

\( y'(\frac{\pi}{6}) = -3 - 4 \)

\( y'(\frac{\pi}{6}) = -7 \)

Ответ: \( -7 \).