5. Решите неравенство 1/2 lg 36 + lg x ≤ 3 lg 2 + 2.

Решение:

Упростим левую часть неравенства:

\( \frac{1}{2} \lg 36 = \lg (36^{\frac{1}{2}}) = \lg \sqrt{36} = \lg 6 \)

Левая часть: \( \lg 6 + \lg x = \lg (6x) \) (по свойству логарифмов \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \)).

Упростим правую часть неравенства:

\( 3 \lg 2 = \lg (2^3) = \lg 8 \)

\( 2 = \lg 100 \) (так как \( \log_{10} 100 = 2 \)).

Правая часть: \( \lg 8 + \lg 100 = \lg (8 \cdot 100) = \lg 800 \).

Неравенство принимает вид:

\( \lg (6x) \le \lg 800 \)

Так как основание логарифма \( 10 > 1 \), функция \( \lg x \) возрастающая, поэтому:

\( 6x \le 800 \)

\( x \le \frac{800}{6} \)

\( x \le \frac{400}{3} \)

Также учтём область определения логарифма: \( x > 0 \).

Объединяя условия \( x > 0 \) и \( x \le \frac{400}{3} \), получаем:

\( 0 < x \le \frac{400}{3} \)

Ответ: \( (0, \frac{400}{3}] \).