6. Решите уравнение log₂(x²-x)=1.

Решение:

По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).

В данном случае \( a = 2 \), \( b = x^2 - x \), \( c = 1 \).

Следовательно:

\( 2^1 = x^2 - x \)

\( 2 = x^2 - x \)

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - x - 2 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Теперь проверим область определения логарифма: \( x^2 - x > 0 \).

Для \( x = 2 \): \( 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2 > 0 \). Подходит.

Для \( x = -1 \): \( (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2 > 0 \). Подходит.

Оба корня удовлетворяют условию.

Ответ: \( x = 2, x = -1 \).