4. Найдите значение выражения: \(\sqrt{16 - 2\sqrt{39}} - \sqrt{16 + 2\sqrt{39}}\)

Решение:

Попытаемся представить выражения под корнями в виде квадратов суммы или разности. Для этого будем искать два числа, сумма которых равна 16, а произведение равно 39.

Такими числами являются 13 и 3 (13 + 3 = 16, 13 * 3 = 39).

Таким образом:

\( 16 - 2\sqrt{39} = 13 - 2\sqrt{13 \cdot 3} + 3 = (\sqrt{13} - \sqrt{3})^2 \)

\( 16 + 2\sqrt{39} = 13 + 2\sqrt{13 \cdot 3} + 3 = (\sqrt{13} + \sqrt{3})^2 \)

Теперь подставим это в исходное выражение:

\( \sqrt{( \sqrt{13} - \sqrt{3} )^2} - \sqrt{( \sqrt{13} + \sqrt{3} )^2} \)

Так как \( \sqrt{13} > \sqrt{3} \), то \( \sqrt{13} - \sqrt{3} \) положительно. И \( \sqrt{13} + \sqrt{3} \) тоже положительно.

\( = (\sqrt{13} - \sqrt{3}) - (\sqrt{13} + \sqrt{3}) \)

\( = \sqrt{13} - \sqrt{3} - \sqrt{13} - \sqrt{3} \)

\( = -2\sqrt{3} \)

Ответ: \(-2\sqrt{3}\).