7. Задача: Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Решение:

Пусть \( x \) км/ч — собственная скорость лодки.

Скорость лодки по течению: \( x + 3 \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( x - 3 \) км/ч.

Время, затраченное на путь по течению: \( t_{по} = \frac{36}{x + 3} \) часов.

Время, затраченное на путь против течения: \( t_{против} = \frac{36}{x - 3} \) часов.

Общее время в пути равно 5 часов. Составим уравнение:

\[ \frac{36}{x + 3} + \frac{36}{x - 3} = 5 \]

Приведем дроби к общему знаменателю \( (x+3)(x-3) = x^2 - 9 \):

\[ \frac{36(x - 3) + 36(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = 5 \]

\[ \frac{36x - 108 + 36x + 108}{x^2 - 9} = 5 \]

\[ \frac{72x}{x^2 - 9} = 5 \]

Умножим обе части на \( x^2 - 9 \), предполагая \( x \neq 3 \) и \( x \neq -3 \) (так как скорость лодки не может быть равна скорости течения или отрицательной):

\[ 72x = 5(x^2 - 9) \]

\[ 72x = 5x^2 - 45 \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 5x^2 - 72x - 45 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084 \]

Найдем \( \sqrt{D} \): \( \sqrt{6084} = 78 \).

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15 \]

\[ x_2 = \frac{72 - 78}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0.6 \]

Так как скорость лодки не может быть отрицательной, то \( x = 15 \) км/ч.

Проверим условие \( x > 3 \) для движения против течения: \( 15 > 3 \), условие выполняется.

Ответ: 15 км/ч.