6. Сократите дробь: \(\frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 9}\)

Решение:

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Знаменатель:

Знаменатель \( x^2 - 9 \) — это разность квадратов: \( x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3) \).

Числитель:

Числитель \( x^2 - x - 6 \) — это квадратный трёхчлен. Найдем его корни, решив уравнение \( x^2 - x - 6 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \).

Корни:

\[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \]

Значит, числитель можно разложить так: \( x^2 - x - 6 = (x - 3)(x - (-2)) = (x - 3)(x + 2) \).

Сокращение дроби:

\[ \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 9} = \frac{(x - 3)(x + 2)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 2}{x + 3} \]

Замечание: данное сокращение возможно при \( x \neq 3 \) и \( x \neq -3 \).

Ответ: \(\frac{x + 2}{x + 3}\).