4. Найти корни уравнения с помощью введения новой переменной: \(\frac{x^2}{(3x+1)^2}-\frac{6x}{3x+1}+5=0\).

Область определения: \(3x+1\ne0\), то есть \(x\ne-\frac13\).

Введём переменную \(t=\frac{x}{3x+1}\). Тогда уравнение становится \(t^2-6t+5=0\).

Разложим на множители: \((t-1)(t-5)=0\). Следовательно, \(t=1\) или \(t=5\).

При \(t=1\): \(\frac{x}{3x+1}=1\), откуда \(x=3x+1\) и \(x=-\frac12\).

При \(t=5\): \(\frac{x}{3x+1}=5\), откуда \(x=15x+5\) и \(x=-\frac5{14}\). Оба значения допустимы.

Ответ: \(x=-\frac12,\;-\frac5{14}\).