6. Найти все значения \(a\), при которых уравнение \(\frac{x^2-2ax+3}{x-2}=0\) имеет единственный корень.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю и одновременно \(x\ne2\). Рассмотрим корни уравнения \(x^2-2ax+3=0\).

Если дискриминант равен нулю, квадратное уравнение имеет один корень \(x=a\). Здесь \(a^2-3=0\), поэтому \(a=\pm\sqrt3\). Этот корень не равен 2, следовательно, оба значения подходят.

Если квадратное уравнение имеет два различных корня, дробное уравнение будет иметь ровно один корень, когда один из них равен 2. Подставим \(x=2\) в числитель: \(4-4a+3=0\), откуда \(a=\frac74\). При этом второй корень равен \(\frac32\), поэтому он допустим.

Ответ: \(a=-\sqrt3,\;\sqrt3,\;\frac74\).