4. Найти площадь равностороннего треугольника, у которого радиус вписанной окружности 6 см.

Задание 4. Площадь равностороннего треугольника

Дано:

• Равносторонний треугольник.
• Радиус вписанной окружности \( r = 6 \) см.

Найти: Площадь треугольника \( S \).

Решение:

1. Для равностороннего треугольника существует формула, связывающая радиус вписанной окружности \( r \) и сторону \( a \): \[ r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \].
2. Выразим сторону \( a \) через радиус \( r \): \[ a = 2r\sqrt{3} \]
3. Подставим значение \( r = 6 \) см: \[ a = 2 \cdot 6 \sqrt{3} = 12\sqrt{3} \] см.
4. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \].
5. Подставим значение \( a \): \[ S = \frac{(12\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \cdot 3 \sqrt{3}}{4} = \frac{432\sqrt{3}}{4} = 108\sqrt{3} \] см².

Ответ: $$108\sqrt{3}$$ см².