4. Найти расстояние от точки A (−2; 14; −12) до плоскости \(3x+6y+\sqrt{2}z-4=0\).

Расстояние от точки \((x_0;y_0;z_0)\) до плоскости \(Ax+By+Cz+D=0\) вычисляется по формуле \(d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).

Подставим данные точки и плоскости:

\(d=\frac{|3(-2)+6\cdot14+\sqrt{2}(-12)-4|}{\sqrt{3^2+6^2+(\sqrt{2})^2}}=\frac{74-12\sqrt{2}}{\sqrt{47}}\).

Ответ: \(\frac{74-12\sqrt{2}}{\sqrt{47}}\).